ARTICULOS DE INTERES
Articulo 2.
El vacío conceptual de la variable compleja, un ejemplo sacado del cálculo integral clásico.
The conceptual hole of the complex variable, a taken out example of the classic integral calculus.
Yecid Javier Salas Sarmiento*
Resumen
La solución obtenida para un problema particular del cálculo integral utilizando métodos no convencionales, proporciona fuerte evidencia de vacíos en la estructura teórica. El análisis de tal procedimiento y la comparación con la forma convencional de solución permite concluir que falta una mejor comprensión acerca de los números complejos, en cuanto a la interpretación de la realidad y su aplicación a las demás ciencias básicas.
Palabras clave: soluciones imaginarias, integración compleja, no unicidad, Número i , Familias de solución.
Abstract
The solution obtained for a particular problem of the integral calculus using non conventional methods, provides strong evidence of holes in the theoretical structure. The analysis of this procedure and the comparison with the conventional form of solution allow to conclude that it lacks a better understanding about the complex numbers, as for the interpretation of the reality and their application to the other basic sciences.
Keywords: imaginary solutions, complex integration, non unicity, i number , solution families.
Introducción
El avance de las matemáticas, en su cuerpo teórico, le lleva en desarrollo varios siglos a su aplicación en las ciencias físicas. Un ejemplo claro de esto es la aplicación del álgebra matricial y del análisis funcional a la estructura naciente de la mecánica cuántica en los primeros decenios del siglo XX. El Análisis, por ejemplo, enfatiza conceptos matemáticos abstractos, aparentemente teóricos e inutilizables en una situación práctica, y los lleva a describir "matemáticas" extrañas teniendo como pilar algunas operaciones básicas que se definen (el caso del conjunto de los números Reales empieza con la definición de productos internos como la suma y la multiplicación). Pero una situación particular siempre ocurre: cuando el matemático llega a un resultado teórico terriblemente extraño y no entendible, siempre opta por "modelarlo" pues si no lo entiende por lo menos le queda la posibilidad de manejarlo en un cierto grado aceptable. Tal es el caso, a juicio personal, de los números complejos.
 Un problema algebraico de despeje con un enunciado tan compacto como lo es:
Debería por inferencia tener una solución totalmente entendible; pero la realidad es que se maneja el concepto de número imaginario pero no se entiende a total cabalidad. La operación de "sacar la raíz cuadrada" que se deduce fácilmente del despeje produce un resultado que no cae en el campo de definición de los números reales; se dice que esta operación "no es un producto interno del conjunto de los números reales".
Esta falta de "completez" que produce la operación "raíz par" aplicada sobre un elemento Real negativo ocasiona fluctuaciones extrañas en algunos problemas de la matemática. Los que son más interpretables tienen lugar en las ecuaciones diferenciales. Está, por mencionar uno de tantos, el oscilador forzado y amortiguado que tiene una semejanza muy estrecha entre el oscilador mecánico y el circuito oscilador RLC. La expresión que relaciona la primera derivada de la variable dependiente es la responsable de que la solución produzca expresiones complejas, y estas soluciones se relacionan con el "rozamiento" para el oscilador mecánico y con "disipación de energía por efecto Joule" en el circuito RLC. Es decir, se puede interpretar un resultado complejo, aunque tenga que recurrirse a teoremas físicos que involucren sistemas no conservativos, en este caso, de energía no conservativa .
Uno de los pilares fundamentales del modelado de problemas con complejos es el teorema de Euler que es fácilmente demostrable con series. Da cuenta de una relación básica existente entre las funciones trigonométricas y el número base de los logaritmos neperianos (" e ") y define la representación más práctica de cualquier número complejo. Dicha representación (Moivre) se efectúa en un plano cartesiano , en el que se le asigna una pareja ordenada a cualquier elemento perteneciente al conjunto de los números complejos. La primera componente da cuenta de la parte "Real" del número y la segunda corresponde a la parte "imaginaria" (la que está acompañada de la raíz de -1).
Por el sólo hecho de necesitar una dimensión más (el eje y en el plano complejo) para describir la "naturaleza" de una cantidad numérica, los problemas relacionados con nuestra tridimensión se ven afectados por 3 dimensiones adicionales (que son las componentes imaginarias de cualquier número). Esto tiene implicaciones tremendas y, por supuesto, empezó a martillar las bases fundamentales de la filosofía determinista de Newton. La simple doble posibilidad que existe para la raíz cuadrada de un número positivo (el resultado puede ser tanto positivo como negativo aunque permanece la misma magnitud) "cuantifica" cualquier resolución en la que se requiera esta operación. En general, como determina la teoría de variable compleja, si se va a extraer la raíz n-esima de un número existe n posibles soluciones. Esto implica entonces, que si uno pretende solucionar un problema matemático con respuesta numérica debe tener en cuenta todas las posibles soluciones que aporta la variable compleja.
La humanidad dejó, hace unas décadas, su esperanza determinista y se percato de que el ser humano a lo sumo llega a formular modelos matemáticos probabilísticos sobre una realidad que es muy difícil de modelar. Sin embargo, creo que el problema no está en la incapacidad del ser humano de percibir fielmente la realidad (optimista), sino en utilizar el modelo físico adecuado, por supuesto, con la estructura matemática adecuada. Aún quedan muchos vacíos por llenar en la estructura teórica de la matemática y el objetivo del artículo es subrayar este hecho utilizando un ejemplo sencillo que surgió hace unos años en la cátedra de Cálculo Integral que tomaba por ese entonces en la Universidad Nacional de Colombia sede Bogotá.
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La integral en cuestión
En uno de los exámenes se planteó la siguiente integral:
Cuya típica resolución involucra el teorema de "Integral por Partes", haciendo:
 
 
Y la fórmula que dice:
Reemplazando, nos conduce a:
El primer término de la expresión ya es parte de la respuesta. El segundo término es otra integral a la que toca aplicarle técnicas de resolución, en este caso reemplazo trigonométrico. El cambio de variable es:
 Esto nos produce:
Utilizando identidades trigonométricas, el denominador en la integral se convierte en sec 2 ( a ) , simplificándose con la sec 2 ( a ) en el numerador. Entonces nos quedaría:
Que utilizando, otra vez, una de las identidades trigonométricas fundamentales se convierte en dos integrales:
Las integrales, o el segundo y tercer término, son inmediatas (sus resultados son: - 2tan( a ) y 2 a ), y la expresión queda:
Solo falta efectuar el cambio a la variable original transformándose en:
Esta es la respuesta que aceptaba el profesor y a la que le ponía máxima nota.
Otro procedimiento de solución
El desespero de no entender este punto y sacar una baja calificación en el examen llevó a un procedimiento alternativo de resolución. Aunque en ese entonces no se comprendió a cabalidad (aún ahora no lo entiendo completamente), de todos modos el profesor valoró el esfuerzo y la creatividad. Dicho procedimiento se retomó en el curso de Cálculo II en Ingeniería Sanitaria y Ambiental, y se completó la demostración obteniendo un resultado sorprendente para cualquier matemático de corte determinista.
La forma de atacar el problema fue utilizando una factorización "no convencional" utilizando rudimentariamente la variable compleja. Se convirtió:
 En:
Es decir, utilizando la diferencia de cuadrados pero involucrando el número i o raíz cuadrada de -1.
Al hacer esto garantizaba una multiplicación de dos binomios en el argumento de la función Logaritmo Natural, asi:
Los logaritmos tienen una propiedad muy particular para este caso. Si se tienen dos expresiones multiplicadas dentro del argumento de un logaritmo estas se pueden separar en dos términos logarítmicos sumados, así:
Por la linelidad de la aplicación integral se pueden separar en dos integrales independientes y de fácil resolución:
La solución de este par de integrales nos proporciona:
Que al distribuir los términos de los paréntesis y anulando las i de signos opuestos, queda:
La agrupación por propiedades de logaritmos conduce a:
 Que finalmente nos lleva a:
Este fue el resultado que se entregó en el examen citado anteriormente. Si se compara con el resultado obtenido por el método tradicional se hace evidente la identidad de los dos primeros miembros; pero al observar el tercero la discrepancia parece insalvable.
La primera idea que surgió para explicar este hecho fue suponer que estos términos diferentes realmente eran idénticos si se iba al campo de la variable compleja; y la tarea consistió, desde ahí, en encontrar la demostración.
Al comienzo del curso de Cálculo II y hasta la mitad del semestre, se trabajan las series matemáticas infinitas para llegar hasta una de las demostraciones más hermosas de la matemática. La demostración del teorema de Euler, aplicando series infinitas, es compacta pero a la vez brillante y su resultado se puede resumir así:
Como se mencionó pasajeramente antes, esto trae como consecuencia la representación de cualquier cantidad compleja en un plano cartesiano. Un modelo que logra darle manejo a expresiones imaginarias que de otra forma serían tratadas solamente como conceptos abstractos (realmente lo son?).
Esto nos puso, de nuevo, en carrera de lograr la demostración. Como la variable x provenía de una expresión integral real, se utilizó el teorema de Moivre para representar las cantidades problemáticas (x+i) y (x-i) en la resolución particular, dejando a x como parte real de un número variable complejo y a i como la parte imaginaria. El teorema de Moivre ya aplicado a una pareja ordenada ( x,y) que representa un número en el plano complejo es:
Si se hace y=1 y x no se modifica dejándolo como variable, considerando que tan -1 (x) es una función impar y se introduce a la formula anterior, queda:
Resumiendo el resultado para las dos expresiones (x+i), (x-i) con el símbolo ± .
Si se reemplaza esta expresión en el término logarítmico de la solución "problemática" queda:
Anulando los términos de raíz en el numerador y denominador y operando exponentes para la misma base e , queda:
 El exponencial y el logaritmo natural son operaciones inversas, por tanto la expresión queda igual a:
Por último, se sabe que i x i = -1 , ya que es la raíz cuadrada de -1, la expresión se reduce finalmente a:
 Una expresión aparentemente real. Sin embargo no es idéntica a la expresión deducida utilizando solamente variable real.
Resultados y discusión
¿Cuál puede ser la explicación para esto?. La deducción matemática nos dice que los dos términos que se estaban comparando efectivamente no son idénticos. Entonces ¿Puede ser coherente el resultado utilizando variable compleja?, ¿El resultado deducido utilizando variable compleja es erróneo?, ¿Falto considerar algún detalle importante inherente a la naturaleza de la variable compleja?. Se creía ciegamente en la infalibilidad de la matemática cuando se encaró esta labor (aún se cree) y se esperaba, casi como dogma de fé, que la demostración llevara a resultados exactamente iguales.
La explicación surge cuando se grafican este par de funciones simultáneamente (en las gráficas realizadas se excluyó la constante 2 que aparecía en ambos términos).
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Figura 1: Gráfica simultanea de las funciones y=-tan -1 (1/x) (rojo) y y=tan -1 (x) (azul) . 
En la Figura 1, la línea roja representa la función y=-tan -1 (1/x) y la línea azul a la función y=tan -1 (x) . Si se recuerda el teorema fundamental del cálculo integral y también el concepto de derivada como una pendiente instantánea en un punto de la función, se nota gráficamente que las pendientes instantáneas para puntos en cada función que tengan en común el valor de la variable x son iguales; por tanto si se derivan se debe obtener la misma función (una afirmación que trae de nuevo la confianza en la consistencia del Cálculo). Esta última hipótesis involucra el teorema fundamental del cálculo integral que reza "...sea F(x) una primitiva de f(x).dx. si se deriva F(x) respecto a x se debe obtener f(x). ". Por tanto, se tienen dos "integrales" de la función que se necesita (el cálculo de una integral indefinida da como solución una familia de funciones que se denominan primitivas y que en este caso notamos como F(x) .). Por tanto, bastaría demostrar que las derivadas de ambas funciones si son idénticas para concluir que las dos resoluciones son correctas.
El procedimiento es el siguiente:
Se tienen las funciones:
 
Sus derivadas dan en un primer cálculo :
( aunque la primera es inmediata)
 
Concentrándose en la segunda función y 2 ' , se efectúa racionalización:
Haciendo producto de extremos sobre producto de medios y factorizando semejantes queda:
Que es idéntica a la derivada de la función y 1 , con lo cual queda completa la demostración de la validez de ambos métodos.
Es sorprendente que una integral real permita más de una familia de soluciones para el mismo problema. Está la familia de soluciones de:
Y también:
Figura 2: Familias de solución de la integral, en azul la segunda familia deducida a partir del método no convencional.
Una diferencia importante que se nota entre ambas familias es que la primera son funciones continuas, mientras que para la segunda presentan una discontinuidad en el valor x=0 , tal vez debido a la utilización de la raíz imaginaria. La deducción de la segunda familia requiere, inevitablemente, el uso de conceptos de variable compleja, pues de otra manera no es posible en forma teórica llegar a la solución. Este hecho, en sí mismo, es muy interesante, pues establece un puente conceptual entre la integración real y la imaginaria que lleva a inducir la sólida completez de la matemática compleja; aunque, por otro lado, evidencia la falta de estructura lograda en algunos tópicos de los números imaginarios, sobre todo los que tienen que ver con interpretación.
Acá se involucran a las denominadas funciones multiformes en las que el logaritmo sobresale como el principal ejemplo (2). La forma en que la variable compleja trata el problema es utilizando las definidas prolongaciones analíticas (2) que simplemente consisten en definiciones del dominio de la función por ramas . Las ramas son definidas por la periodicidad de las funciones armónicas que definen cualquier número complejo en la representación de Moivre. Pero la definición dada en variable compleja, respecto a la explicación sobre el eje real, se pierde en abstracciones. El ejemplo desarrollado en este trabajo nos hace recordar que la variable compleja surge como prolongación teórica de la variable real y que no se desprende de ella, si no que el espacio real está acoplado con el complejo en una trama que no se puede despreciar. La solución de problemas naturales utilizando matemática debe tener en cuenta la globalidad del espacio complejo, pero está premisa se pierde en representaciones abstractas que poseen carencias de interpretabilidad cuando se ligan con la realidad.
Al involucrar variable compleja en el análisis de esta integral real surgió otra alternativa en la solución. Una solución diferente pero perfectamente válida. Esto nos da la certeza de que en un problema de matemáticas percibimos solamente la solución más próxima a nuestro entendimiento (solución real) pero se excluyen naturalmente, o tal vez por la forma de atacar el problema, el resto de soluciones consideradas en el plano complejo. Al introducir la "factorización compleja" se puede argumentar que se amplio el dominio analítico de la función. Esto es cierto, pero lo sorprendente es que proporciona una solución absolutamente real.
Talvez sea necesario, para su total entendimiento, describir el problema a partir de la topología matemática, y encontrar todas las soluciones posibles, pero los vacíos conceptuales que a menudo encontramos en la matemática son una fuente inagotable de investigación, aunque la tendencia de la matemática teórica se aleja demasiado de la aplicabilidad a problemas más tangibles. Persisten aún falencias en la interpretación y parece que el desarrollo teórico de las ciencias está armado "por islas" que algunas veces establecen puentes entre sí y que, en otras, no se vinculan aparentemente.
Ahí está todavía planteado, desde hace siglos, el problema de encontrar una función o relación de recurrencia que nos determine el conjunto de los números primos; un problema aparentemente tan fácil en su descripción ha gastado millones de millones de hora-hombre en su resolución sin lograr ningún resultado. Han existido propuestas, pero todas ellas han fallado. La única manera que ha tenido la humanidad de acercarse a una solución es utilizando el poder informático, pero este método no tiene la sofisticación ni la elegancia de una demostración sobre el papel, simplemente es un algoritmo de prueba y error que corre y corre en el procesador de un computador.
Estos y otros muchos más ejemplos de problemas aparentemente sencillos, cuya explicación no se determina totalmente, ubican al ser humano en el nivel de eterno aprendiz, con una tendencia asintótica a conocer la verdad, aunque nunca la llegue a conocer absolutamente.
Bibliografía
APÓSTOL, Tom M., 1967, Calculus, New York , Jhon Wiley And Sons Inc. 212.
IVORRA CASTILLO, Carlos, Funciones de variable compleja, Universidad de Valencia http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Varcom.pdf . 361
APÓSTOL, Tom M, 1984, Introducción a la teoría analítica de números, Barcelona, Reverté.
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