Dpto.Física Art.1 - Universidad de Boyacá

El papel de la aleatoriedad en el fenómeno de las variaciones de dirección en el curso de un río.

The roll of randomness in the phenomenon of the direction variations in a river's course.

La dirección a la que se encamina el curso de un río cambia constantemente y depende del relieve con que se encuentre, pero sorprendentemente subyace un comportamiento predecible si se considera ciertas condiciones controlables. La tendencia que sigue un curso de agua es que si se divide la longitud total recorrida entre la distancia directa entre fuente y desembocadura se obtiene, en muchos casos, un valor muy cercano a p /2.

Palabras clave: causalidad, métodos de montecarlo, valor esperado, Número p , probabilidad y entropía.

Abstract

The direction to which goes the course of a river constantly changes and it depends on the relief with which it encounter, but surprisingly a predictable behavior underlies if it is considered certain controllable conditions. The tendency that follows a course of water is that if the total traveled longitude is divided among the direct distance between source and outlet it is obtained, in most of the cases, a very near value at p /2.

Keywords: causation, montecarlo methods, expected value, p number, probability and entropia.

La forma de enfrentar un problema físico en la actualidad estriba en poder modelarlo acertadamente. "Acertadamente" hace referencia a la ductibilidad de este modelo y a la interpretabilidad que le brinda su soporte teórico, porque es bien sabido ya que el modelo no es la realidad, sino que simplemente resume en forma matemática el comportamiento de la naturaleza despreciando efectos no relevantes.

La ciencia moderna, como tal, tuvo su origen en los enfrentamientos "religiosos" que sostuvieron Galileo y la Santa Sede en el siglo XXVII. Se puede afirmar que la visión particular que poseía Galileo frente a problemas naturales es la misma que ahora se tiene. Galileo afirmaba que el lenguaje con que Dios escribió el universo eran las matemáticas. Newton retomó las banderas de esta idea y formuló casi toda la estructura inicial con que empezaron su desarrollo las ciencias físicas; aunque introdujo su "determinismo" (puesto en duda ahora por la física moderna) influenciado, sobre todo, por su concepto místico del mundo y de la perfección (Dios). Eso lo sabemos ahora; Newton al desarrollar el cálculo infinitesimal y manipular problemas, que en ese entonces rayaban la Metafísica, con una propiedad teórica tan abrumadora, cayó en la trampa de la "soberbia científica". El Cálculo, efectivamente, es la herramienta matemática que más ha contribuido al desarrollo intelectual, científico y tecnológico del ser humano; pero lejos de ser la panacea esperada, el cálculo ha abierto una cantidad impresionante de interrogantes a nivel de la Física. A comienzos del siglo XX la comunidad científica estaba atascada con incoherencias en la descripción de la radiación del cuerpo negro y de la comprobación de la no existencia del éter, elemento en el cual la física clásica suponía que se movían las recién descubiertas ondas electromagnéticas. Estos dos problemas dieron origen a las dos disciplinas que ahora dominan la física teórica: la teoría general de la relatividad y la mecánica cuántica. La forma de estructurar estas nuevas líneas en la Física fue abandonar la filosofía determinista Newtoniana y tomar de las matemáticas la teoría de la probabilidad. El Marqués de Laplace afirmaba que la acción de Dios no era necesaria en su teoría de Mecánica Celeste; efectivamente, si toda partícula al comienzo de los tiempos tenía una posición inicial, una velocidad inicial, su masa y se conocía la fuerza que la dominaba, una simple ecuación podía determinar exactamente sus variables físicas en cualquier instante de tiempo..hasta la eternidad. Ahora se sabe que cualquier observable físico debe tener una función de onda, que dicho en términos divulgativos, es simplemente la colección de estados probables de dicho observable en un sistema de estudio. Si nuestro sistema fuera una moneda y el observable a medir fuera su posición superior después de un lanzamiento (cara o sello) la función de onda sería la suma de ½ Cara + ½ Sello. La mecánica cuántica es, por naturaleza, una teoría probabilística. La Física Clásica Newtoniana dejó el camino libre a un modelo que resolviera "la catástrofe del ultravioleta", como se denominó al problema de la radiación del cuerpo negro. La incapacidad del ser humano de controlar los sistemas de estudio nos llevó a la visión cuántica, pero sin embargo está teoría tuvo sus adversarios, el más ilustre era el mismo Einstein quién fue uno de sus pioneros cuando describió el efecto fotoeléctrico utilizando paquetes o "cuantos" de luz (de ahí el nombre de mecánica cuántica). El afirmaba tajantemente, refiriéndose a la Cuántica: "...Dios no juega a los dados.".

Es un hecho que la probabilidad hace parte de nuestras vidas. Sin ir más lejos, cuando se trata de clima, nadie puede afirmar con total certeza que el día de mañana será soleado; se dice: ".existe una probabilidad en un 70% de que mañana no llueva" y eso lo hace un meteorólogo después de efectuar un estudio serio sobre fotografías satelitales. Los modelos creados para sistemas naturales, por su calidad de humanos, son caóticos y la teoría de la probabilidad inunda la existencia.

Sin embargo, la naturaleza parece que siempre sabe a donde va. Las cosas siempre siguen una causalidad definida. Intuitivamente a la flecha del tiempo se le percibe una dirección. Se observa la caída de un espejo y su posterior ruptura, pero nunca se ha visto que, sin la intervención de un agente externo, en un espejo resquebrajado sus fragmentos vuelvan a unirse, aunque físicamente es posible si se tuviera, para cada fragmento, las velocidades y las posiciones iniciales adecuadas.

Hace poco hacían un comentario sorprendente en un documental acerca de la vida de Euler ("El Mundo de Las Matemáticas" Canal Grandes Documentales, tve). Él realizó significativas contribuciones a la matemática incluyendo su aporte al análisis de series numéricas infinitas. Muchas de estas series relacionan su convergencia con el número p . Y la afirmación que se hacía, al final del documental, era que si se dividía la distancia longitudinal de un río entre la distancia en línea recta que existe desde su manantial hasta su desembocadura, el resultado es "asombrosamente" igual a p /2. La afirmación tan categórica generó la tarea de averiguar si esto era cierto o simplemente una de las tantas mentiras de la televisión.

La primera aproximación al problema fue extractar de un atlas las longitudes de arco (recorrido total) y las distancias aproximadas entre fuente y desembocadura (utilizando una herramienta de distancias en un mapa interactivo) de varios rios importantes, entre ellos el Amazonas, el Nilo y el Mississippi. Como se esperaba, el cociente de estas distancias para cada uno de ellos cayó cerca de p /2 en un rango porcentual de error bastante aceptable, como se puede ver en la tabla 1.

Rio	Recorrido	Distancia Recta	Cociente	Error respecto a ?/2 (Porcentaje)
Amazonas	6275	3457	1.815157651	15.56
Cauca	1350	850	1.588235294	1.11
Magdalena	1540	1010	1.524752475	2.93
Mississippi	3779	2165	1.745496536	11.12
Nilo	5584 (Desde el Lago Victoria)	3501	1.594972865	1.54
Xingu (Amazonía Brasileña)	1980	1200	1.65	5.04
Yenisei (Meseta de Siberia Central)	4093	2616	1.564602446	0.39

Se aprecia en la tabla que los rios Amazonas y Mississippi presentan el mayor error porcentual respecto al cociente esperado, hecho que se le puede atribuir a su recorrido montañoso que ocasiona una pequeña variación respecto al comportamiento ideal. Por otro lado, el de menor error es el rio Yenisei enclavado en la estepa rusa, la cual no posee accidentes notables en el relieve montañoso. Sin embargo, rios como el Cauca y el Magdalena, a pesar que surcan la cordillera de los Andes, presentan un comportamiento muy bueno.

Los mapas con el detalle en la medición de la distancia recta se pueden apreciar con precisión en la Figura 1.

Figura 1. Mapas de medición de la distancia recta entre fuente y desembocadura para los ríos escogidos.

Se observa, en cualquier mapa físico de la Figura 1., el relieve respectivo y casi se intuye la influencia sobre la dirección del cauce de estas corrientes fluviales.

El camino que sigue un curso de agua en una superficie plana sería la primera aproximación. Si se "suelta" un flujo de agua se debe especificar una dirección determinada en el plano; esta dirección inicial determina el resultado final del curso de agua. Es poco probable, por ejemplo, que si se determina una dirección inicial norte para una corriente de agua esta termine en un punto al sur de nuestro origen. Tampoco se esperaría un punto final muy cercano al este o al oeste. La dirección privilegiada será la de avanzar, es decir, se esperaría un punto final, sino al norte, por lo menos muy cercano en esa dirección. Por la misma naturaleza del problema, la inercia del flujo de agua determina esto.

El modelo parecía bastante coherente con la realidad y se procedió a determinar un modelo de simulación de tipo "Montecarlo" para este problema. Los "métodos de Montecarlo" hacen referencia a la aleatoriedad controlada por medio de un computador. Consisten, básicamente, en simular las condiciones iniciales de un problema utilizando un generador de números aleatorios o algoritmo de azar.

La aleatoriedad de este problema está en que no se puede saber cual es la dirección que va a tomar el curso de agua en cualquier instante puntual de tiempo. En la simulación, por tanto, se deja que el computador determine la dirección aleatoriamente utilizando el generador de números. Pero para determinar "la forma" en que el computador escoge direcciones se necesita suponer cuales son las direcciones "privilegiadas" para el curso de agua.

Figura 2. Modelo preliminar que sirve de base para el algoritmo de la simulación.

La forma de realizar el algoritmo es bastante sencilla y se detalla en la Figura 2. Se supone un plano cartesiano xy se determina la longitud de cada paso como la unidad de medida de longitud. Se relaciona la coordenada x con el coseno de un ángulo aleatorio y la de y con el seno. Se utiliza un iterador para que genere N ángulos aleatorios. Se calculan las N parejas ordenadas de vectores unitarios. Se suman algebraicamente las componentes x y las componentes y y se obtiene la coordenada del punto final. Con esta coordenada se halla la distancia al origen, aplicando la fórmula de distancia entre 2 puntos y esta cantidad es el denominador en una relación que se efectúa con el número de pasos o N .

Figura 3. Detalle de la base de datos en un cálculo preliminar con 5000 ángulos aleatorios.

La suposición de que el rio siempre tiende a avanzar hizo suponer que la dirección privilegiada era "hacia delante" o el norte si fijamos ya esta dirección inicial para el curso de agua. Se pensó que la distribución de probabilidad que se escogiera debía privilegiar dicha dirección.

La primera escogencia para una función de probabilidad fue la famosa normal con centro en p /2 ó 90°, dejándola variar a lo largo de todas las direcciones desde 0 a 2 p ó 360°. Pero presentaba un problema: si se quería manipular la función, se podía variar su desviación estándar al antojo, solamente para ajustar los datos a un resultado cualquiera. Esto no es lo que perseguía la simulación: "ajustar un modelo", se quería modelar el problema para llegar a una posible explicación. La utilización de la función normal desvirtuaba el proceso de simulación, ya que se quería sacar información de la experiencia y no modelar el problema para ajustar un resultado. En el segundo proceso se pierde información del objeto de estudio y no se puede llegar a conclusiones acerca de su comportamiento.

El segundo ensayo fue más efectivo. Aparte de la función normal, existen muchas funciones para "ajustar" datos experimentales de probabilidad. Pero, se quiso descartar, antes de seguir, una de las distribuciones de probabilidad más sencilla. La distribución uniforme le asigna igual probabilidad a todos los elementos de un conjunto. Volviendo a la moneda, ésta solamente tiene 2 estados: la cara y el sello. Es el caso típico de distribución de probabilidad uniforme (por supuesto, si la moneda no está cargada) y le asigna 0.5 de probabilidad tanto a la cara como al sello (recordar que la suma de todas las probabilidades de un espacio muestral es igual a 1).

Pues se le asigno igual probabilidad a todas las direcciones entre 0 y 2 p (360°) para cada paso, obteniendo un resultado que ya se había logrado antes y que se menciona en el libro de "Lectures on Physics" de Richard Feynman en el capítulo 6. Se trata de la caminata al azar, utilizada por Einstein para describir el movimiento Browniano de partículas. Pero este no es el caso acá, ya que el rio siempre tiende a avanzar como se mencionó antes.

Figura 4. Gráficas de "ríos virtuales" generadas por la simulación. Se cambio el orden de las coordenadas x y y para realzar la variación de posición en x .

La clave de todo estaba en la hipótesis que dice que el río tiende a avanzar en todo momento. Se excluyó, pensando en esto último, las direcciones en que el río se devolvía, es decir, las que se encuentran entre p (180°) y 2 p (360°) y se le asignó igual probabilidad a las que se dejaron. Esto reprodujo, en el simulador, gráficas bastante reales que "parecían" ríos verdaderos (ver Figura 4).. El número de pasos en que se efectúa la simulación vendría a ser la longitud de recorrido del río y la distancia geométrica entre el punto final y el origen vendría a ser la distancia directa entre fuente y desembocadura. Lo interesante es que se efectuó el cociente entre el número de pasos y la distancia directa y se obtuvo el resultado de p /2 (1.5707963268...) con una definición, en el mejor de los casos, de hasta 10 -5 para un número de pasos de 10.000.

La deducción de equiprobabilidad en el paso, que se estableció en la simulación, simplifica el análisis sobre papel y permite una prueba exacta.

Sea l la longitud de un paso del río. Y los ángulos a i los medidos respecto a la horizontal, con la condición de ir siempre hacia delante (Ver Figura 2), entonces:

Como los ángulos son aleatorios se debe calcular el valor esperado de D es decir á D ñ .

Que reemplazándola en la fórmula que define la razón que se está estudiando da:

La equiprobabilidad facilitó los cálculos de los valores esperados utilizados. Si se tuviera otro tipo de distribución de probabilidades, la integral requerida para su cálculo podría llegar a ser de muy difícil resolución.

No hubo necesidad de ir más lejos; esto explicaba perfectamente el comportamiento de una corriente de agua en un sector de terreno plano. La naturaleza nuevamente nos sorprende por su simplicidad. Algunas veces se pensó que la irregularidad del terreno debería influir en cierta medida para alterar el valor del cociente que se está trabajando en casos reales. Pero no es apreciable en ríos como el Magdalena y el Cauca que tienen una gran parte de recorrido incrustado en la cordillera de los Andes. Sin embargo, es necesario sugerir para profundizar en el tema, un mapa más detallado que de cuenta de la longitud exacta del rio, ya que se notan discrepancias entre el valor que se da en algunos documentos y el mapa que corresponde a un rio en particular; un ejemplo de esto es la discusión que existe respecto a la verdadera longitud del rio Amazonas que algunos colocan como el más largo del mundo, desplazando al Nilo, argumentando el no registro de un gran sector dentro de las fronteras del Perú.

El problema es muy similar a la caminata al azar, aunque acá especificamos que cualquier, dirección entre 0 y p , puede ser adoptada. Si las direcciones presentan esta característica de equiprobabilidad, después de muchos "eventos", o generación de pasos, se debe esperar que todos los ángulos entre 0 y p salgan, o definan direcciones, un número de veces igual para todos (esto, suponiendo un espacio muestral discreto de valores de ángulo). Es cierto que el espacio de los números reales es infinito y un subespacio, como un intervalo, también; pero el computador no maneja rigurosamente los reales; es evidente que no se puede representar un irracional en un computador, aunque se puede aproximar a 16 o más cifras decimales. Puesto que todos los ángulos posibles de este intervalo tienen aproximadamente el mismo número de apariciones, se puede sintetizar esta característica probabilística en un conjunto particular de eventos, que no va en contradicción de la estadística, y que representaría bien a un conjunto de eventos muy muy grande. Este "conjunto particular" de eventos es la aparición de todos los ángulos del intervalo a la primera vez y sin repetirse. Dichos ángulos generarían vectores diferentes, uno por cada dirección discreta, que poniéndolos uno tras otro y ordenándolos desde el menor al mayor ángulo formarían un semicírculo! . Evidentemente esto no es una figura que realice el rio, pero si se hace la relación entre la longitud de arco y la distancia directa claramente identificamos la definición del número p , más exactamente este cociente nos daría p /2 (1.570796327.), ya que la distancia directa en este caso sería el diámetro del semicírculo.

Los sistemas macroscópicos se componen de un número muy grande de partículas, del mismo orden de magnitud del número de Avogadro, y sería necesario para su estudio determinista conocer todas sus condiciones iniciales (respecto a observables físicos) si se quiere llegar a un nivel de predicción perfecto. Esto obviamente es imposible, y la única forma de acercamiento al problema estriba en utilizar la probabilidad, que se aprovecha de la tendencia natural en el comportamiento de fenómenos. Debajo de este aparente caos existe un orden y unas leyes que siguen los sistemas y la labor del científico consiste en llegar a una comprensión cada vez más cercana del universo y negar la anarquía de los fenómenos naturales.

Muy especialmente al Físico Jorge Clavijo egresado de la Universidad Nacional y actualmente perteneciente al cuerpo docente de la Escuela Colombiana de Ingeniería quién trabajó conmigo la parte teórica solamente por el placer de hacerlo.

Bibliografía

FEYNMAN, Richard P., 1964, Lectures on physics, Palo Alto - London, Addison Wesley Publishing Company Inc., 62.

ASHBY, Neil, MILLER, Stanley C., Principles of modern physics, San Francisco - Cambridge - London - Amsterdam, Holden - Day Inc., 11.

MICROSOFT Inc., 2003, Enciclopedia y Atlas Interactivo Encarta 2003, Microsoft Inc.

Abstract

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Bibliografía